Todas as entradas e saídas monetárias podem ser expressas por uma linha horizontal que mostra o movimento de um capital ao longo do tempo. A essa linha damos o nome de fluxo de caixa, e dentro do mesmo estão representadas as entradas e saídas monetárias no tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras, etc.
Os fluxos de caixa possuem diversas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou indefinidos) e de valores (constantes e variáveis). O fluxo de caixa padrão (que veremos nesta lição) possui as seguintes das características acima: pagamento (ou recebimento) postecipado, prazo total limitado, valores constantes e intervalos de pagamentos periódicos. Esses pagamentos constantes e periódicos do fluxo de caixa são denominados prestações, ou PMT (payment) na HP12C.
Nesta lição falaremos dos fluxos padrão e destes com séries antecipadas e postecipadas. Na lição seguinte (nº 9) trataremos apenas dos fluxos de caixa não convencionais comprestações diferentes e a função NPV da HP12c.
Exemplo do fluxo de caixa padrão:
Fórmulas para o fluxo de caixa padrão:
Onde,
é o fator de capitalização, e
o fator de descapitalização
EXEMPLOS
1) Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, em juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.000.
PV = 1.000 [1 – 1/(1 + 0,01)12]/0,01
PV = $11.255,00
(f) (REG) 1.000 (CHS) (PMT) 12 (n) 1 (i) (PV)?
PV = $11.255,00
2) Determinar o valor presente (PV) de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de $700,0, sendo a taxa de juros igual a 1,7% ao mês.
Como a taxa de juros é mensal mas os pagamentos trimestrais, temos inicialmente que transformá-la para uma taxa trimestral.
i90 = [(1 + 0,017)90/30 –1] x 100
i90 = [(1,017) 3 –1] x 100
i90 = 5,18%
(f) (REG) 1,017 (ENTER) 90 (ENTER) 30 (÷) (Yx) 1 (-) 100 (x)
i = 5,18%
Calculando o PV:
PV = PMT [1- 1/(1 + i)n]/i
PV = 700 [1 – (1/(1 + 0,0518)12)]/0,0518
PV = 700 x [(1 – (0,5455)]/0,0518
PV = $ 6.141,00
(f) (REG) 5,18 (i) 700 (CHS) (PMT) 12 (n) PV?
PV = $6.140,00
3) Um financiamento de $ 3.500,00 é concedido a juros de 2,5% ao mês. Podendo-se dispor de $ 270,00 ao final de cada mês, determinar quantos pagamentos são necessários para liquidar o empréstimo.
3500 = 270 [1 – 1/(1 + 0,025)n]/0,025
[FATOR] = 12,96
Para um juro de 2,5% e um fator de 12,96 (fator de valor presente) a tabela financeira nos dá um prazo de 16 meses (pagamentos).
Já vimos em exercícios anteriores como determinar o n matematicamente. Assim, caso não dispuséssemos da tabela financeira poderíamos fazer da seguinte forma:
3500 = 270 [1 – (1,025)n]/0,025
12,96 = [1 – (1,025)n]/0,025
[1 – (1,025)n ] = 12,96 x 0,025 = [1 – (1,025)n ] = 0,32413,28
- (1,025)n = 0,324 – 1
n log 1,025 = log 0,676
n = log 0,676/log 1,025 = -0,03915/0,002469
n = 15,85 meses
(f) (REG) 2,5 (i) 3500 (CHS) (PV) 270 (PMT) (n)?
n =15,85 meses
4) Um eletrodoméstico é vendido à vista por 8.000 à vista ou em 1 entrada mais 4 pagamentos mensaid de $2.085,89, sendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da entrada considerando uma taxa de juros de 4% ao mês?
Sabemos que se calcularmos o PV na fórmula padrão é como se o tempo 2 funcionasse no tempo zero, pois a primeira prestação é sempre postecipada. Logo, como o PV padrão cairia no tempo 2 bastaria descapitalizar o principal encontrado por mais dois períodos para termos seu valor no tempo zero.
Fluxo padrão (PV no tempo 2):
PV = PMT [1- 1/(1 + i)n]/i
PV2 = 2085,79 x [1 – 1/(1 + 0,04)4]/0,04
PV2 = 2085,79 x 3,6298
PV2 = 7.569,00
PV descontado por 2 períodos (PV em zero):
PV0 = PV2/(1,04)2
PV0 = 7.568,32/(1,04)2
PV0 = $ 6.997,00
(f) (REG) 4 (i) 2085,79 (CHS) (PMT) 4 (n) PV?
PV2 = $ 7.571,00
(f) (REG) 4 (i) 2 (n) 7571 (CHS) (FV) PV?
PV0 = $ 6.999,00
Sabemos que: valor a vista = entrada + valor a ser financiado (valor presente). Como o valor presente das prestações deve ser igual ao valor a vista (8.000), temos:
ENTRADA = 8000 – 7000 = $1.000,00.
5) Um empréstimo de $10.000 será liquidado em 2 vezes iguais. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês, determine o valor das parcelas.
10.000 = PMT/(1+0,03)1 + PMT/(1+0,03)2
10.000 = PMT/(1,03) + PMT/(1,06)
10.000 = PMT (0,9708) + PMT(0,9425)
10.000 = 1,9133 PMT
PMT = $5.226,00
(f) (REG) 10000 (CHS) (PV) 2 (n) 3 (i) (PMT)
PMT = $5.226,00
6) Uma pessoa financia um carro de $20.000,00 em 24 vezes, sendo cobrada uma taxa de IOC de 1,5% (sobre o valor do contrato) e uma TAC de $ 150,00. Ambas serão embutidas nas prestações. A taxa de juros cobrada no empréstimo é de 2,7% am. Pede-se: a) o valor das prestações mensais, b) e a taxa efetiva de juros deste financiamento. c) o valor financiado e o valor total pago incluindo o custo de oportunidade.
Valor total financiado (PV): 20.000 + 300,00 (20.000 x 1,5%) + 150,00 = $20.450,00
i: 2,7% am
período: 24 meses
PMT: ?
a) 20.450 = PMT [1 - 1/(1 + 0,027)24]/0,027
20.450 = PMT [17,496] – fator de descapitalização
PMT = 20.450/17,49609
PMT = $ 1.169,00
(f) (REG) 2,7 (i) 24 (n) 20450 (CHS) (PV) (PMT)?
PMT = $ 1.169,00
b) Como incluímos no valor financiado as taxas a serem pagas (caso as pagássemos no ato o raciocínio seria parecido) temos que verificar qual a taxa efetiva do financiamento, que certamente será superior aos 2,7% am.
Como o principal é de $20.000 e as prestações (que incluem as taxas) $1.169, temos que jogar esses dados na fórmula para determinar a taxa embutida:
20.000 = 1.169 [FATOR]
20.000/1.169 = [FATOR]
[FATOR] = 17,10
Pela tabela (PV/PMT para 24 meses) encontramos uma taxa de aproximadamente: 2,89%
(f) (REG) 24 (n) 20000 (CHS) (PV) 1169 (PMT) (i)?
i = 2,90%
Logo, a taxa efetiva, incluindo as despesas com as demais taxas, é de 2,89%, superior aos 2,7% do contrato. Qualquer taxa adicional tende, portanto, a encarecer o custo do financiamento.
c) Calculando FV (valor futuro) temos:
FV = PMT [(1 + i)n - 1 ]/i
FV = 1169 [((1,027)24 -1)]/0,027
FV = 1169 x 33,16
FV = $38.765 (valor total do financiamento)
(f) (REG) 2,7 (i) 24 (n) 1169 (CHS) (PMT) (FV)?
FV = $ 38.765
Uma observação deve ser feita. O valor efetivamente pago por quem tomou o financiamento foram as 24 prestações de $ 1.169. Logo, somando-se encontramos um total de $28.056 ($ 1.169 x 24). Mas se esse foi o valor pago o que significa aquele valor futuro de $38.765, bem superior?
O valor efetivamente desembolsado foram os $28.056, mas pensando de outra forma, se você emprestasse $20.000 reais a alguém e recebesse as prestações de $1.180 o que faria com elas? Se emprestou é porque este dinheiro estava de certa forma sobrando. Logo, assim que for recebendo as prestações de $1.169 irá aplicá-las, supondo a mesma taxa do financiamento, ao longo dos 24 meses. Assim, receberá $28.056 na forma de prestações e ganhará um rendimento extra pelas aplicações de $10.709 (38.765 - 28.056). É exatamente isso que o banco faz quando concede empréstimos, reaplica as prestações (ou as empresta a outro) assim que elas forem sendo pagas.
Conclusão, como receberia as prestações mensais, mas não as deixaria paradas, ao reaplicá-las no mercado, à mesma taxa, recebe um total de $38.765, que é exatamente aquele valor futuro calculado pela fórmula. Nesse sentido, a matemática financeira considera não só o custo do seu financiamento, mas o custo de você ter disponibilizado o dinheiro pelo tempo especificado e não ter recebido nada com isso (custo de oportunidade). Esse custo adicional é somado ao valor das prestações que pagará. Assim, o valor total despendido seria de $ 38.765, e não apenas os $28.056.
7) Uma empresa precisa de capital de giro. Porém, de acordo com seu fluxo de caixa só poderá liquidá-lo em cinco parcelas mensais postecipadas de $2.500, com um período de carência de 15 dias. Calcular a capacidade da empresa de tomar empréstimo, sabendo-se que a taxa de juro da operação é de 12% ao ano.
imensal = (1,12)1/12 -1 = 0,9489% ao mês
PV = 2500 [1 – 1/(1,009489)5]/0,009489
PV = 12.151/(1,0047)
PV = 12.094
(f) (REG) 0,9489 (i) 5,5 (n) 2500 (CHS) (PMT) (PV)?
PV = $12.094
8 ) Um veículo à vista custa $20.000. Em um consórcio, a taxa de administração paga é de 5% am e as prestações mensais de $600, ao longo de 60 meses. Qual a taxa efetiva mensal da operação?
PV = 20.000
N = 60 meses
PMT = 600 x Tx adm = 630
i?
20.000 = 630 [1 - 1/(1+i)60]/i
fator = 57,97
(f) (REG) 20000 (CHS) (PV) 60 (n) 630 (PMT) (i)?
i = 2,38% am
9) Um equipamento é vendido à vista por $40.000, ou em três prestações mensais fixas. Calcular o valor das prestações considerando uma taxa de juros real aplicada de 5% am, e inflação projetada de 1%am.
i = (1,05) x (1,01) = 6,05% am
40.000 = PMT [1 - 1/(1,0605)3]/0,0605
40.000/2,67 = PMT
PMT = $ 14..978
(f) (REG) 40000 (CHS) (PV) 6,05 (i) 3 (n) (PMT)?
PMT = 14.980
FLUXOS DE CAIXA NÃO CONVENCIONAIS (séries antecipadas e postecipadas)
Como vimos, os fluxos não convencionais podem ser classificados como antecipados, diferidos (carência), valores (prestações) diferentes (este veremos especificamente na lição 9).
No fluxo antecipado a série de valores (prestações) começa a ocorrer antes do final do primeiro período, ou no início deste. Quando tratamos de carência (postecipado) estamos falando de uma série de pagamentos que começa a ocorrer após o primeiro período, já que o pagamento no primeiro período é classificado como fluxo padrão, como vimos. Da mesma forma, quando os períodos de pagamento, e/ou os valores são diferentes, também temos um fluxo de caixa não convencional.
Exemplo de um fluxo de caixa com carência de um período:
Exemplo:
Um financiamento de $1.000,00 deve ser amortizado em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, e admitindo-se meses com 30 dias, determinar o valor da prestação mensal desse financiamento, nas seguintes hipóteses:
i) pagamento da 1ª prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série postecipada -padrão);
ii) pagamento da 1ª prestação (entrada) ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada).
i) Fluxo padrão:
1.000 = PMT [1 - 1/(1 + 0,01)5]/0,01
1.000 = PMT [4,8534] – fator de descapitalização
PMT = 1.000/4,8534
PMT = $206,04
(f) (REG) 1 (i) 5 (n) 1000 (CHS) (PV) (PMT)?
PMT = $ 206,04
ii) Esse é um fluxo de caixa antecipado, logo:
Como a prestação inicial (de um total de 5) é paga no tempo zero, o principal é a soma desta entrada mais as outras 4 prestações restantes, podendo considerar estas como um fluxo padrão.
PV = PMT (entrada) + PMT [1- 1/(1 + i)n]/i
1.000 = PMT + PMT [1- 1/(1 + 0,01)4]/0,01
1.000 = PMT + PMT [3,901]
1.000 = 4,901 PMT
PMT = 1.000/4,901
PMT = $203,99
(f) (REG) (g) (BEG) 1 (i) 5 (n) 1000 (CHS) (PV) (PMT)?
PMT = $ 203,99
* a HP12c trabalha com séries antecipadas ao pressionamos as teclas (g), tecla azul, e (BEG), de begin. Para voltarmos ao fluxo de caixa padrão pressionamos (g) e depois (END).
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