¬ Lição matemática n°10: Como calcular a rentabilidade (yield) de um título

O mercado internacional de dívidas permite o levantamento de recursos (dólares, ienes, euros etc) via emissão de títulos pelos tomadores: empresas, bancos ou governo.  A forma mais comum de captação são os bonds, ou bônus. São títulos de longo prazo representando uma dívida do emissor, como vimos na lição de economia nº26 sobre Risco-País. Podem pagar um juro fixo no vencimento ou  juros periódicos (anuais ou semestrais), denominados cupons, além da amortização do principal no vencimento da dívida. As taxas de juros embutidas podem ser fixas ou flutuantes, dependendo dos critérios definidos na emissão, sendo estas baseadas no valor em pontos que esteja o Risco-País no período.


O cálculo da rentabilidade desses bonds (YTM – yield to maturity) é determinado a partir do preço de mercado do título (preço de compra) e os fluxos de pagamento a ele associados, os cupons. Assim, se considerarmos o preço de mercado do Bond e os fluxos de pagamento, a sua taxa embutia de retorno (YTM) será exatamente a IRR (taxa interna de retorno) que vimos nas lições de matemática. Essa taxa, comparada com outras taxas no mercado, dirá se vale a pena para o investidor adquirir ou não o Bond. Temos, então, a seguinte fórmula:



 
P =       F1        +        F2         +   Fn  +  Vf
       (1+YTM)1      (1+YTM)1      (1+YTM)n


Onde:

P = preço de mercado do Bond

F1, F2 ...= fluxos de caixa ou pagamentos periódicos (cupons)

Vf = valor de face do papel ou valor nominal

N = períodos em que são pagos os cupons

YTM = taxa de juros que, descontados os fluxos de caixa, resulta em um valor presente igual ao preço de mercado. É a taxa de remuneração desejada pelo investimento feito.


Imaginemos um título já emitido e que esteja circulando no mercado secundário com valor de face de $1.000, que paga juros semestrais proporcionais a 10% ao ano. O prazo de resgate do titulo (maturity) é de 10 anos. Qual preço o investidor aceitaria pagar no mercado suponde as seguintes rentabilidades desejadas:

a) 5% ao semestre

P = 50/1,05 + 50/1,052 + ... + 50/1,0520 + 1.000/10,520

P = $1.000



* Notamos  que o rendimento de 5% ao semestre é exatamente igual à taxa do cupom, e o preço do bônus é igual ao seu valor de face. Ou seja, se pagamos $1.000 no mercado por esse título teremos exatamente a rentabilidade semestral de 5%



b) 3% ao semestre

P = 50/1,03 + 50/1,032 + ... + 50/1,0320 + 1.000/10,320

P = $1.297,55



* Neste caso, para conseguir o rendimento de 3% ao semestre o preço pago pelo bônus deve ser de $1.297,55. Isto é, se a exigência de rentabilidade diminui aceito pagar mais pelo Bond.



c) 6% ao semestre

P = 50/1,06 + 50/1,062 + ... + 50/1,0620 + 1.000/10,620

P = $885,30



* Como o investimento requer uma rentabilidade de 6% preciso comprar o título com deságio no mercado, ou seja, um valor igual ou inferior a $885,30. Neste caso temos um deságio (queda) de 11,47% do valor de face [(885,30/1.000)-1].



d) rendimento de 6% supondo que o título já esteja circulando no mercado há 5 anos, ou seja, com 10 meses a menos de pagamento de cupons.

P = 50/1,06 + 50/1,062 + ... + 50/1,0610 + 1.000/10,610

P = $885,30



* o deságio agora cai para 7,3% do seu valor de face.



Matematicamente, notamos que quando o valor do título no mercado diferir do valor nominal, o rendimento até o vencimento vai diferir da taxa de juros do cupom. Se o preço do título sobe no mercado o retorno (YTM) diminui, fica abaixo do cupom de lançamento. Se o título for negociada abaixo do valor nominal, com deságio, o YTM fica acima do cupom de lançamento. Neste caso, podemos também determinar o rendimento de um título a partir de seus preços e do cupom. Supondo um Bond com prazo de 2 anos que paga cupom de 5% ao semestre, um preço no mercado de $1.089 (ágio de 8,9% sobre o valor de face de $1.000), qual seria o seu rendimento?


Como o valor do título está com ágio, já sabemos que sua taxa de retorno será inferior à taxa do cupom de 5%.


1.089 = 50/(1+YTM) + 50/(1+YTM)2 + 50/(1+YTM)3 + (50 + 1.000)/(1+YTM)4

YTM = 2,62% ao semestre



HP12c:

1089 (CHS) (PV) 50  (PMT) 4 (n) 1000 (FV) (i)?

R: 2,62%



Agora dá pra entender por que quando o mercado financeiro está nervoso e os investidores procuram títulos do governo como segurança, fugindo das bolsas de valores, seu valor de face sobe e o rendimento (YTM) fica abaixo do cupom - rendimento menor em função da maior demanda por segurança. Vejam como isso é descrito nos artigos online: "Aumento do pessimismo no mercado leva à alta dos preços dos Treasuries: Os preços dos Treasuries avançaram nessa quinta-feira após uma sequência de sete quedas seguidas, refletindo o pessimismo do mercado em relação à situação europeia devido à possível entrada do setor privado em planos de resgate da dívida da região. Desse modo, houve uma maior procura por ativos mais seguros no mercado, incluindo os títulos norte-americanos, o que levou a uma diminuição dos seus yields".



Analisemos a notícia abaixo da Gazeta Mercantil  de 16/10/2003-B1:


Banco Central lança bônus de US$1,5 bilhão

O Banco Central anunciou ontem a emissão de US$1,5 bilhão em Global Bônus, com vencimento em outubro de 2010. A captação, que foi agenciada pelo Merrill Lynch e Credit Suice, gerou um cupom de 9,25% ao ano; a taxa de retorno para o investidor foi de 9,45% ao ano. Segundo nota do BC, o spread da operação foi de 561 pontos básicos acima dos títulos do Tesouro norte-americano de referência. Em setembro o BC emitiu US$775 milhões em Global Bônus com vencimento em agosto de 2011, e com isso atingiu a marca de US$3 bilhões em emissões no exterior que faziam parte do cronograma para 2003.


Taxa de retorno
Na ocasião, o cupom foi de 10% ao ano e o preço de reabertura da linha foi de 96,5% do valor de face. Com isso, a taxa de retorno para o investidor ficou em 10,66% ao ano. A linha BR-11 foi reaberta com spread de 6.333 pontos-básicos acima do título do Tesouro norte-americano de referência.


No final do mês passado, o diretor de política econômica, Afonso Bevilaqua, informou que o governo poderia emitir mais US$5 bilhões no prazo de 12 meses para aproveitar as boas condições de Risco-Brasil. Na terça-feira, a taxa de Risco-Brasil, medida pelo J.P. Morgan, chegou a bater em 579 pontos, menor patamar desde julho de 1998, o que aumentou as especulações no mercado financeiro sobre a iminência de uma nova emissão de bônus soberano”.




A matéria acima mostra a captação de recurso com a emissão de bônus por parte do governo federal. Traz também a rentabilidade para os investidores, os compradores dos bônus. A nova linha aberta em setembro pagou um cupom de 10% aa. Todavia, como a venda é feita em sistema de leilão, o valor de face negociado foi de 96,5%, o que dá ao investidor uma rentabilidade de 10,66% ao ano. A partir dos cálculos que fizemos anteriormente temos:



Deságio = 3,5%

P = US$96,50

Taxa de juro do cupom (equivalente) = 10% aa (4,8809% ao semestre)

F1, F2 ... (cupons semestrais) = US$4,88

Vf = US$100,00

n = 16 meses (8 anos, pois o vencimento é em 1011)



96,5 = 4,88/(1+YTM) + 4,88/(1+YTM)2 + ... + (4,88 + 100)/(1+YTM)16

YTM = 5,20% ao semestre = 10,68% (equivalente anual)



HP12c:

96,5 (CHS) (PV) 4,88  (PMT) 16 (n) 100 (FV) (i)?

R: 5,20%

3 comentários:

  1. Anônimo9/27/2014

    Prezado Tarcísio,
    Com a intenção de contribuir com tua análise gostaria de lembrar que a taxa de retorno anunciada nos títulos não é real, pois a Taxa Interna de Retorno somente se efetiva se o investidor conseguir no mercado reinvestir os cupons na mesma taxa de retorno anunciada, o que na prática dificilmente acontece. Logo, via de regra o retorno real final do investimento será menor que a taxa de retorno do título que é utilizada pra calcular seu preço de compra.
    Em segundo lugar, a taxa do cupom semestral calculada pelo Tesouro é uma taxa equivalente: (1 + taxa cupom a.a.)^1/2 - 1
    Portanto, uma taxa de cupom semestral de 10 a.a. corresponde a uma taxa equivalente a semestre igual a 0,048808848, e não 5% como você usou nos cálculos.

    Att.
    dalvingabriel@yahoo.com.br

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  2. nestes cálculos estão partindo do principio que os PMT são iguais, ou seja, a cada 126 dias de distancia um do outro, então pergunto, como fazer estes mesmos cálculos se o primeiro PMT for em 50 dias da data de hoje e os seguintes 126 das (semestre) a partir de então? gostaria de achar o YTM

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  3. como calcular o YTM se o primeiro PMT for em 50 dias e os demais forem em 126 dias (semestral)?

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